数学者が等角線に関する古い幾何学の問題を解く

数学者が等角線に関する古い幾何学の問題を解く科学色々

高次元で、同じ角度で対になって分離できる線は何本あるか?

幾何学上のブレークスルーが、スペクトルグラフ理論に新たな知見を与えました。

等角線とは、空間上の1点を通る直線で、対になる角度がすべて等しいものをいいます。

2次元では正六角形の3本の対角線を、3次元では正20面体の対向する頂点を結ぶ6本の線を思い浮かべてみてください(上図参照)。

しかし、数学者は3次元だけではありません。

「高次元になると、本当に面白くなり、可能性が無限に広がるように思えます。」と数学科助教授のYufei Zhao氏は言います。

しかし、MITの数学者チームは、高次元空間における直線の幾何学的性質に関する問題を解決しようとしましたが、無限ではないといいます。

この問題は、少なくとも70年以上にわたって研究者が頭を悩ませてきた問題であり、今回の発見は、線が同じ角度で対になって離れるように配置できる線の最大可能数を決定するものです。

この論文は、MITの学部生であるYuan Yao氏とShengtong Zhang氏、博士課程のJonathan Tidor氏、博士研究員のZilin Jiang氏らと共同で執筆しました。

彼らの論文は、Annals of Mathematicsの2022年1月号に掲載される予定です。

等角線の数学は、グラフ理論を用いて符号化することができます。

この論文は、ネットワークを研究するための数学的ツールを提供するスペクトラルグラフ理論として知られる数学の分野に新たな洞察を与えています。

スペクトルグラフ理論は、Googleの検索エンジンのPageRankアルゴリズムなど、コンピュータサイエンスにおける重要なアルゴリズムにつながっています。

今回、等角線について新たな知見が得られたことは、符号化や通信にも影響を与える可能性があります。

等角線は、情報理論の重要なツールである「(spherical codes)球形コード」の例であり、NASAと火星探査機の間で送信されるメッセージのように、ノイズの多い通信チャネル上で異なる当事者が互いにメッセージを送信できるようにします。

この問題は、1973年にP.W.H.LemmensとJ.J.Seidelが発表した論文で紹介されました。

プリンストン大学のNoga Alon教授(数学)は、「これは、60年代から注目されていた極値幾何学の問題に、驚くほどシャープな答えを与えた美しい結果です。」と語っています。

今回のMITチームの研究は、Zhao氏が「この問題に満足のいく解決策」と呼ぶものです。

「当時、いくつかの良いアイデアがありましたが、その後、人々は30年近くも立ち往生していました。」とZhao氏は言います。

しかし、数年前にスイス連邦工科大学(ETH)チューリッヒ校のBenny Sudakov教授(数学)らの研究チームによって重要な進展がありました。

Zhao氏は、2018年2月にスダコフがMITを訪問した際に、Sudakov氏が組合せ論研究セミナーで等角線に関する研究について講演した際にホストを務めました。

Jiang氏は、カーネギーメロン大学で博士課程の指導教官だったBukh Boris氏の研究をもとに、等角線の問題に取り組むようになりました。

Jiang氏とZhao氏は2019年の夏にチームを組み、Tidor氏、Yao氏、Zhang氏が加わりました。

「良い夏の研究プロジェクトを見つけたいと思っていたので、これは取り組むのに最適な問題だと思いました。しかし、問題を完全に解決することは、私の予想をはるかに超えていました」 とZhaoは説明します。

本研究は、Alfred P. Sloan FoundationおよびNational Science Foundationの一部支援を受けて実施されました。

Yao氏とZhang氏は、数学科のSPUR(Summer Program for Undergraduate Research)を通じて研究に参加し、Tidor氏は大学院生として指導を受けました。

彼らの研究成果は、SPURの最優秀論文に贈られる数学科のHartley Rogers Jr.賞を受賞しました。

「これは、SPURプログラムの最も成功した成果のひとつです。長年の未解決問題が解決されることはめったにありません。」

この問題の解決には、スペクトルグラフ理論という数学的手法が使われています。

スペクトルグラフ理論は、グラフやネットワークを理解するために、線形代数のツールをどのように使うかを教えてくれるものです。

グラフを行列にして、その固有値を見ると、グラフの「スペクトル」が得られます。

「グラフに強い光を当てて、出てくる色のスペクトルを調べるようなものです。その結果、出てくるスペクトルが頂点付近に集中しすぎることはないことがわかりました。グラフのスペクトルに関するこの基本的な事実は、これまで観察されたことがないことがわかりました。」とZhang氏は説明します。

この研究は、スペクトルグラフ理論に新しい定理を与えています。

つまり、接続された有界次数グラフの隣接行列は、劣線形の第2固有値の多重度をもつというものです。

その証明には、グラフのスペクトルと、そのグラフの小片のスペクトルを関連付ける巧妙な洞察が必要です。

Zhang氏は、「証明はきれいにうまくいきました。この問題を一緒に考えるのはとても楽しかったです。」と語りました。

Published by Massachusetts Institute of Technology. Zilin Jiang, Jonathan Tidor, Yuan Yao, Shengtong Zhang, Yufei Zhao, Equiangular lines with a fixed angle, arxiv:1907.12466v3 [math.CO] arxiv.org/abs/1907.12466
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